Velocidad de fase y de grupo

Fórmula de la velocidad de fase

La velocidad de fase de una onda es la velocidad a la que se propaga la onda en cualquier medio. Es la velocidad a la que viaja la fase de cualquier componente de frecuencia de la onda. Para dicha componente, cualquier fase dada de la onda (por ejemplo, la cresta) parecerá viajar a la velocidad de fase. La velocidad de fase está dada en términos de la longitud de onda λ (lambda) y el período de tiempo T como

Equivalentemente, en términos de la frecuencia angular ω de la onda, que especifica el cambio angular por unidad de tiempo, y el número de onda (o número de onda angular) k, que representa la proporcionalidad entre la frecuencia angular ω y la velocidad lineal (velocidad de propagación) vp,

Para entender de dónde viene esta ecuación, consideremos una onda coseno básica, A cos(kx – ωt). Después del tiempo t, la fuente ha producido ωt/2π = ft oscilaciones. Después del mismo tiempo, el frente de onda inicial se ha propagado lejos de la fuente a través del espacio hasta la distancia x para encajar el mismo número de oscilaciones, kx = ωt.

Así, la velocidad de propagación v es v = x/t = ω/k. La onda tendría que propagarse más rápido cuando las oscilaciones de mayor frecuencia se distribuyen menos densamente en el espacio, a menos que la longitud de onda se acorte compensatoriamente[2]. Formalmente, Φ = kx – ωt es la fase, donde

Velocidad de grupo en términos de índice de refracción

Este tratamiento lineal sólo es válido para luces de baja intensidad de potencia. Cuando las intensidades de potencia son muy altas (como con una intensidad de campo eléctrico de 1012 voltios/metro), se excitarán los efectos no lineales y no se debe utilizar el método de la suma simple.

A continuación, discutiremos la superposición de dos ondas que tienen la misma dirección de vibración, la misma amplitud a, pero diferente frecuencia y número de onda (ω1, k1, ω2, k2). Sin embargo, la diferencia de frecuencia es muy pequeña. Esto generará el interesante fenómeno del “latido”.

Así, la intensidad I varía entre 0 y 4a2 con el tiempo t y la posición z. Este fenómeno se denomina “latido”. De la última fórmula podemos ver que la frecuencia de batido es 2 veces la frecuencia de modulación ωm, de la definición de ωm =(ω1 – ω2)/2, podemos ver que la frecuencia de batido es igual a ω1 – ω2.

La onda superpuesta tiene dos velocidades de propagación: la velocidad de propagación superficial equiphase (llamada velocidad de fase Vp), y la velocidad de propagación superficial equiamplitud (llamada velocidad de grupo Vg, tal como la define Rayleigh).

Velocidad de grupo negativa

La fase y la velocidad de grupo son dos conceptos importantes y relacionados en la mecánica ondulatoria. Surgen en la mecánica cuántica en el desarrollo temporal de la función de estado para el caso continuo, es decir, los paquetes de ondas.

donde A0 es la amplitud de la onda, w es la frecuencia circular; k es el número de onda; y j es una fase inicial y constante. El argumento de la función sinusoidal, q (x, t) = wt – kx + j se denomina fase. A veces, el número de onda se denomina frecuencia espacial o constante de propagación.

Se trata de una onda monocromática (una frecuencia). En la naturaleza no hay ondas estrictamente monocromáticas. Por ejemplo, la fuente generadora de la onda puede moverse ligeramente, introduciendo frecuencias espurias.

Ejemplo de velocidad de grupo

donde [math]\omega=2\pi/T[/math], [math]k=2\pi/\lambda[/math] y [math]T=1/f=2\pi/\omega[/math], siendo [math]f[/math], [math]T[/math] y [math]\lambda[/math] la frecuencia, el periodo y la longitud de onda, respectivamente.

La [math]s(x,t)[/math] es una función que depende tanto del tiempo como de la posición. En cualquier instante de tiempo fijo [math]t[/math] la función varía sinusoidalmente a lo largo del eje [math]x[/math], mientras que en cualquier posición fija del eje [math]x[/math] la función varía sinusoidalmente con el tiempo.

De la ecuación (4) se deduce que, dos señales pueden aparecer viajando a dos velocidades diferentes como resultado de la superposición de las señales [math]s_1(x,t)[/math] y [math]s_2(x,t)[/math]. Es decir, en el gráfico inferior de la figura 1, las oscilaciones internas (en azul) viajan a la velocidad [math]v=\frac{\omega}{k}[/math], mientras que la envolvente de amplitud (en rojo) viaja a la velocidad [math]\frac{Delta \omega}{Delta k}[/math].

Obsérvese que, cuando la frecuencia angular y el número de onda [math]k[/math] son proporcionales, las velocidades de fase y de grupo son las mismas, es decir, [math]v_{gr}=v_{ph}[/math]. Por otro lado, a partir de (2) es evidente que, en este caso, la velocidad de fase [math]v_{ph}[/math] no depende de la frecuencia. Los medios en los que se cumple esta condición se dicen no dispersivos.